Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 9} \right)dx} = a\ln 5 + b\ln 3 + c\) trong đó \[a,\,\,b,\,\,c\] là các số nguyên. Giá trị của biểu thức

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \ln \left( {{x^2} + 9} \right)}\\{{\rm{d}}v = x\;{\rm{d}}x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = \frac{{2x}}{{{x^2} + 9}}\;{\rm{d}}x}\\{v = \frac{{{x^2} + 9}}{2}}\end{array}} \right.} \right.\) .

Suy ra \(I = \left. {\frac{{{x^2} + 9}}{2} \cdot \ln \left( {{x^2} + 9} \right)} \right|_0^4 - \int\limits_0^4 {\frac{{2x}}{{{x^2} + 9}} \cdot } \frac{{{x^2} + 9}}{2}{\rm{d}}x\)

\( = \left( {\frac{{25}}{2} \cdot \ln 25 - \frac{9}{2} \cdot \ln 9} \right) - \int\limits_0^4 {xdx} = 25 \cdot \ln 5 - 9 \cdot \ln 3 - 8 = a \cdot \ln 5 + b \cdot \ln 3 + c\).

Suy ra \(a = 25\,,\,\,b = - 9\,,\,\,c = - 8\) nên \(T = a + b + c = 8.\) Chọn C.