Biết hệ phương trình 2x - y = m + 1; 3x + my = 2 - m có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2y - x = -5. Khi đó, có bao nhiêu giá trị của m thỏa mãn?

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi \(\frac{{\rm{2}}}{3} \ne \frac{{ - 1}}{{\rm{m}}}\) suy ra m ≠ \(\frac{{ - 3}}{2}\).

Từ phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có y = 2x – m – 1.

Thay y = 2x – m – 1 vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 3x + m(2x – m – 1) = 2 – m, suy ra x(3 + 2m) – m² – m = 2 – m, suy ra \({\rm{x}} = \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}\).

Với \({\rm{x}} = \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}\) thì \({\rm{y}} = 2 \cdot \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} - {\rm{m}} - 1 = \frac{{4 + 2{{\rm{m}}^2} - 3{\rm{m}} - 2{{\rm{m}}^2} - 2{\rm{m}} - 3}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = \frac{{{\rm{1}} - 5{\rm{m}}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}.\)

Ta có: \({\rm{2y}} - {\rm{x}} = \frac{{2\left( {{\rm{1}} - 5{\rm{m}}} \right)}}{{3 + 2{\rm{m}}}} - \frac{{2 + {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = \frac{{{\rm{2}} - 10{\rm{m}} - 2 - {{\rm{m}}^2}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = \frac{{ - {{\rm{m}}^2} - 10{\rm{m}}}}{{3 + 2{\rm{m}}}}\).

Để 2y – x = –5 thì \(\frac{{ - {{\rm{m}}^2} - 10{\rm{m}}}}{{3 + 2{\rm{m}}}} = - 5\), suy ra m² + 10m = 15 + 10m, suy ra m² = 15 nên \({\rm{m}} = \sqrt {15} \) (thỏa mãn) hoặc \({\rm{m}} = - \sqrt {15} \) (thỏa mãn)

Vậy có 2 giá trị m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.