Biết giới hạn lim x → 2 √ 3 x + 3 − m x − 2 = a b , m là số thực; a, b là các số nguyên và a b tối giản. Tính a − b

Vì\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \left( {{\rm{x}} - 2} \right) = 0 \Rightarrow \]để\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{\sqrt {3{\rm{x}} + 3} - {\rm{m}}}}{{{\rm{x}} - 2}} = \frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\]thì\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 3} - {\rm{m}}} \right) = 0\]. Do đó x = 2 là nghiệm của phương trình \[\sqrt {3{\rm{x}} + 3} - {\rm{m}} = 0 \Rightarrow {\rm{m}} = 3\]

Với m = 3 ta được:

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{\sqrt {3{\rm{x}} + 3} - 3}}{{{\rm{x}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{\left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 3} - 3} \right)\left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 3} + 3} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)\left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 3} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{3{\rm{x}} - 6}}{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)\left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 3} + 3} \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{3\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)\left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 3} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{3}{{\left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 3} + 3} \right)}} = \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow {\rm{a}} = 1,{\rm{b}} = 2 \Rightarrow {\rm{a}} - {\rm{b}} = - 1\]Chọn đáp án C

Đáp án cần chọn là: C