biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx/ 1+3cosx

15/150

Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{1 + 3\cos x}}\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2.\) Tính \(F\left( 0 \right).\)

\(F\left( 0 \right) = - \frac{1}{3}\ln 2 + 2.\)

\(F\left( 0 \right) = - \frac{2}{3}\ln 2 + 2.\)

\(F\left( 0 \right) = - \frac{2}{3}\ln 2 - 2.\)

\(F\left( 0 \right) = - \frac{1}{3}\ln 2 - 2.\)

Giải thích

Cách 1: Ta có \[F\left( x \right) = \int {\frac{{\sin xdx}}{{1 + 3\cos x}}} = - \int {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{3\cos x + 1}}} = - \frac{1}{3}\ln \left| {3\cos x + 1} \right| + C.\]

Mà \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{3}\ln \left| {3\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1} \right| + C = 2 \Rightarrow C = 2.\)

Do đó, \(F\left( 0 \right) = - \frac{1}{3}\ln \left| {3\cos \left( 0 \right) + 1} \right| + 2 = - \frac{1}{3}\ln 4 + 2 = - \frac{2}{3}\ln 2 + 2.\)

Vậy \(F\left( 0 \right) = - \frac{2}{3}\ln 2 + 2.\)

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay:

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F(0) \Rightarrow F(0) = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{{1 + 3\cos x}}} \;{\rm{d}}x.\) Chọn B.