Biết F ( x ) = e^x ( m sin x + n cos x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e^x ( 2 sin x − 3 cos x ) . Tính S = m^2 + n^2 .
Giải thích
Trả lời: 6,5
\(F'\left( x \right) = {e^x}\left( {m\sin x + n\cos x} \right) + {e^x}\left( {m\cos x - n\sin x} \right)\)\( = {e^x}\left[ {\left( {m - n} \right)\sin x + \left( {n + m} \right)\cos x} \right]\).
Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 2\\m + n = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(S = {m^2} + {n^2} = \frac{{13}}{2} = 6,5\).