Biết 3 ∫ 2 (( x − 1)/ x )^2 dx = a + b l n 2 + c l n 3 , trong đó a , b , c là các số hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức T = 6a + 3b + 2c

25/50

Biết \(\int\limits_2^3 {{{\left( {\frac{{x - 1}}{x}} \right)}^2}dx} = a + b{\rm{ln}}2 + c{\rm{ln}}3\), trong đó \(a,b,c\) là các số hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức \(T = 6a + 3b + 2c\) (nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

\(\int\limits_2^3 {{{\left( {\frac{{x - 1}}{x}} \right)}^2}} dx = \int\limits_2^3 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2}}}} dx = \int\limits_2^3 {\left( {1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left. {\left( {x - 2\ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_2^3\)

\( = \left( {3 - 2\ln 3 - \frac{1}{3}} \right) - \left( {2 - 2\ln 2 - \frac{1}{2}} \right)\)\( = \frac{7}{6} + 2{\rm{ln}}2 - 2{\rm{ln}}3\).

Do đó \(a = \frac{7}{6},b = 2,c = - 2\).

Vậy \(T = 6a + 3b + 2c = 6 \cdot \frac{7}{6} + 3 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 9\).

Đáp án cần nhập là: \(9\).