Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông

a) Sau khi cắt bốn góc tấm bìa và dựng thành chiếc hộp không nắp, khi đó chiếc hộp dựng thành có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước là \({\rm{x}},6 - 2{\rm{x}}\) và \(6 - 2{\rm{x}}({\rm{dm}})\).

Rõ ràng \({\rm{x}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < {\rm{x}} < 3\).

Thể tích của chiếc hộp là \({\rm{V}}({\rm{x}}) = {\rm{x}}{(6 - 2{\rm{x}})^2}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\quad (0 < {\rm{x}} < 3)\).

b) Xét hàm số \({\rm{V}}({\rm{x}}) = {\rm{x}}{(6 - 2{\rm{x}})^2}\) với \({\rm{x}} \in (0;3)\).

Tập xác định: \({\rm{D}} = (0;3)\).

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \({{\rm{V}}^\prime }({\rm{x}}) = {(6 - 2{\rm{x}})^2} + {\rm{x}} \cdot 2(6 - 2{\rm{x}}) \cdot ( - 2) = (6 - 2{\rm{x}})(6 - 6{\rm{x}})\).

Trên khoảng \((0;3)\), ta có \({{\rm{V}}^\prime }({\rm{x}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 1\).

Trên khoảng \((0;1),{{\rm{V}}^\prime }({\rm{x}}) > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Trên khoảng \((1;3),{{\rm{V}}^\prime }({\rm{x}}) < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực đại tại \({\rm{x}} = 1,{{\rm{y}}_{{\rm{CD}}}} = 16\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Trên khoảng \((0;3)\), đồ thị hàm số đi qua các điểm \((1;16)\) và \((2;8)\).

Đồ thị hàm số \({\rm{V}}({\rm{x}})\) trên khoảng \((0;3)\) được biểu diễn như hình dưới đây.

Từ đó, ta thấy đế tìm được độ dài cạnh hình vuông cần cắt bó để chiếc hộp đạt thế tích lớn nhất, ta cần tìm \({x_0} \in (0;3)\) sao cho \({\rm{V}}\left( {{{\rm{x}}_0}} \right)\) có giá trị lớn nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy trong khoảng \((0;3)\) hàm số có một điếm cực trị duy nhất là điếm cực đại \(x = 1\) nên tại đó \({\rm{V}}({\rm{x}})\) có giá trị lớn nhất là \({\max _{(0;3)}}V(x) = 16\).

Vậy độ dài cạnh của hình vuông cần cắt bỏ là \(1{\rm{dm}}\) thì chiếc hộp có thế tích lớn nhất.