Bạn Mai để trên bàn một chiếc cốc hình trụ chứa đầy nước, chiếc cốc có chiều cao bên trong bằng 3 lần đường kính bên trong của đáy. Cho biết bán kính bên trong của mặt đáy cốc hình trụ là r =
5/6
(1,0 điểm) Bạn Mai để trên bàn một chiếc cốc hình trụ chứa đầy nước, chiếc cốc có chiều cao bên trong bằng 3 lần đường kính bên trong của đáy. Cho biết bán kính bên trong của mặt đáy cốc hình trụ là \(r = 6\) cm.
a) Tính thể tích nước trong cốc.
b) Bạn Mai lần lượt thả vào cốc một viên bi hình cầu và một khối hình nón đều bằng thủy tinh. Đường kính viên bi và đường kính mặt đáy của khối hình nón đều bằng đường kính mặt đáy bên trong của cốc nước. Biết tâm của hình cầu và đỉnh của hình nón nằm trên đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy cốc. Viên bi chạm đáy của cốc nước, đỉnh của hình nón tiếp xúc với điểm cao nhất của viên bi và mặt đáy của khối hình nón trùng khít với mặt trên của miệng cốc (các vật được coi là đặt cố định như hình vẽ). Người ta thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Hãy tính thể tích nước tràn ra ngoài sau khi thả viên bi và khối hình nón vào cốc nước.
a) Đáy cốc có bán kính \(r = 6\) cm nên đường kính đáy là \(d = 12\) cm.
Chiều cao cốc gấp 3 lần đường kính nên \(h = 3 \cdot 12 = 36\) cm.
Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ, lượng nước ban đầu trong cốc là
\({V_{tru}} = \pi \cdot {6^2} \cdot 36 = 1296\pi \) (cm3).
b) Khi thả vật vào, thể tích nước tràn ra chính bằng tổng thể tích của viên bi cầu và khối nón chiếm chỗ.
Bán kính viên bi cầu bằng bán kính đáy cốc, tức là \({R_{bi}} = 6\) cm.
Thể tích viên bi là \({V_{bi}} = \frac{4}{3}\pi \cdot {6^3} = 288\pi \) (cm3).
Khối nón có bán kính đáy \({r_{n{\rm{\'o }}n}} = 6\) cm. Vì tổng chiều cao hai vật bằng đúng chiều cao cốc, nên chiều cao nón là phần còn lại sau khi trừ đi đường kính viên bi: \({h_{n{\rm{\'o }}n}} = 36 - 12 = 24\) cm.
Thể tích khối nón là \({V_{n{\rm{\'o }}n}} = \frac{1}{3}\pi \cdot {6^2} \cdot 24 = 288\pi \) (cm3).
Tổng lượng nước tràn ra ngoài là \({V_{tr{\rm{\`a }}n}} = 288\pi + 288\pi = 576\pi \) (cm3).