Bạn Bình có hai ly thủy tinh. Biết rằng phần chứa nước của hai ly có dạng hình nón với bán kính đáy cùng bằng 4 cm và chiều cao cùng bằng 10 cm. Ban đầu, ly thứ nhất chứa đầy nước và ly thứ h

⦁ Gọi \(V\) là thể tích của ly nước đầy ban đầu. Bán kính đáy \(R = 4\) cm, chiều cao \(H = 10\) cm.

Khi đó, thể tích của ly nước ban đầu được tính bằng \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}H\).

⦁ Khi mực nước có chiều cao \(h\), phần nước là một hình nón đồng dạng với hình nón ban đầu. Gọi \(r\) là bán kính mặt nước tại chiều cao đó.

Theo định lí Thalès, \(\frac{r}{R} = \frac{h}{H}\) suy ra \(r = \frac{h}{H}R\).

Thể tích lượng nước ứng với chiều cao \(h\) là:

\({V_h} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi  \cdot {\left( {\frac{h}{H}R} \right)^2}h = {\left( {\frac{h}{H}} \right)^3} \cdot \frac{1}{3}\pi {R^2}H = {\left( {\frac{h}{H}} \right)^3}V\).

Như vậy, \(\frac{{{V_h}}}{V} = {\left( {\frac{h}{H}} \right)^3}.\) Suy ra tỉ số thể tích lượng nước so với thể tích khi ly đầy bằng lập phương tỉ số hiều cao tương ứng.

⦁ Gọi \({V_1}\) là thể tích nước còn lại trong ly thứ nhất, tương ứng với \({h_1} = \frac{3}{4}H\).

Khi đó: \(\frac{{{V_1}}}{V} = {\left( {\frac{{{h_1}}}{H}} \right)^3} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} = \frac{{27}}{{64}}\).

Thể tích nước đã đổ sang ly thứ hai (\({V_2}\)) là: \({V_2} = V - {V_1} = \frac{{37}}{{64}}V\). Suy ra \[\frac{{{V_2}}}{V} = \frac{{37}}{{64}}.\]

⦁ Gọi \({h_2}\) là chiều cao của lượng nước trong ly thứ hai.

Khi đó, \({\left( {\frac{{{h_2}}}{{10}}} \right)^3} = \frac{{37}}{{64}}\) nên \(\frac{{{h_2}}}{{10}} = \frac{{\sqrt[3]{{37}}}}{4}\).

Suy ra \({h_2} = \frac{{10\sqrt[3]{{37}}}}{4} = \frac{{5\sqrt[3]{{37}}}}{2}\) (cm).

Vậy chiều cao của lượng nước có trong ly thứ hai là \(\frac{{5\sqrt[3]{{37}}}}{2}\) cm.