(Bài toán thiết kế mô hình đường giao thông) Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi
13/32
(Bài toán thiết kế mô hình đường giao thông) Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi với sự khác biệt về độ cao ở vị trí hai sườn đồi giao nhau là 50 feet (Hình vẽ), người ta có thể làm như sau:
• Chọn hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là vị trí hai sườn đồi giao nhau, phương nằm ngang là trục Ox, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là feet (1 feet = 0,3048 m).
• Chọn hai vị trí A, B lần lượt trên hai sườn đồi. Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được toạ độ của hai điểm A, B và góc dốc a (đơn vị: độ) tại điểm B của sườn đồi. Giả sử ta có A(− 1 000 ; 60), B(1 000 ; 90) và tan\[\alpha \] = 0,04 (Hình 27) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
• Trong hệ trục toạ độ Oxy, quan sát đường cong (vẽ bằng nét đứt) mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có thể chọn hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+d (a ≠ 0) sao cho trong hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên đoạn
[− 1 000 ; 1 000] mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế. Ta chọn theo nguyên tắc: Hệ số góc của tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó bằng 0,04.
a) Hãy xác định hàm số bậc ba đó.
b) Góc dốc của con đường trên đoạn \[\left[ { - 1000;1000} \right]\] lớn nhất tại điểm nào?
a) Do đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+d (a ≠ 0) đi qua điểm (0 ; 50) nên d = 50,
suy ra: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + 50.
Do đồ thị đi qua các điểm A(− 1 000 ; 60), B(1000 ; 90) nên ta có: \[\left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000{\rm{ }}000a{\rm{ }} + 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000b - 1{\rm{ }}000c{\rm{ }} = {\rm{ }}10\\1{\rm{ }}000{\rm{ }}000{\rm{ }}000a{\rm{ }} + 1{\rm{ }}000{\rm{ }}000b + 1{\rm{ }}000c{\rm{ }} = {\rm{ }}40\end{array} \right.\]Hay \[\left\{ \begin{array}{l} - 1{\rm{ }}00{\rm{ }}000{\rm{ 0}}00a{\rm{ }} + 100{\rm{ }}000b - 100c{\rm{ }} = {\rm{ }}1\\1{\rm{ }}00{\rm{ }}000{\rm{ 0}}00a{\rm{ }} + 100{\rm{ }}000b + 100c{\rm{ }} = {\rm{ }}4\end{array} \right.\] , suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{{40000}}\\100{\rm{ }}000{\rm{ }}000a + 100c = 1,5\end{array} \right.\]Ta có: \[f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a{x^2} + \frac{1}{{20{\rm{ }}000}}x + c\]Do hệ số góc của tiếp tuyến tại B của đồ thị hàm số đó bằng 0,04 nên\[f'(1000) = 3000{\rm{ }}000a + \frac{1}{{20}} + c = 0,04\] tức là \[3000{\rm{ }}000a + c = - 0,01\].Ta có hệ phương trình sau:\[\left\{ \begin{array}{l}100{\rm{ }}000{\rm{ }}000a + 100c = 1,5\\3{\rm{ }}000\;000a + c = - 0,01\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{80{\rm{ }}000{\rm{ }}000}}\\c = \frac{{11}}{{400}}\end{array} \right.\]Vậy hàm số bậc ba cần tìm là; \[f(x) = - \frac{1}{{80{\rm{ }}000{\rm{ }}000}}{x^3} + \frac{1}{{40{\rm{ }}000}}{x^2} + \frac{{11}}{{400}}x + 50\]