Bác Tùng muốn xây một cái bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thế tích bằng 36 m 3 . (Xây mặt đáy và các mặt xung quanh bể).

Gọi chiều rộng của đáy bể là \[x\] (Điều kiện: \(x > 0\)).

Suy ra chiều dài của đáy bể là \(2x\).

Gọi chiều cao của bể là \[h\] (Điều kiện: \[h > 0\]).

Thể tích của bể là: \(V = x \cdot 2x \cdot h\).

Suy ra \(h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}\).

Diện tích bể cần xây là: \(S = 2\left( {x + 2x} \right)h + x \cdot 2x\)

\( = 6x \cdot \frac{{18}}{{{x^2}}} + 2{x^2}\)

\( = \frac{{108}}{x} + 2{x^2}\)

\( = \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} + 2{x^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \(\frac{{54}}{x};\frac{{54}}{x};2{x^2}\), ta được:

\(\frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} + 2{x^2} \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{{54}}{x}.\frac{{54}}{x}.2{x^2}}}\).

\( = 3.\sqrt[3]{{5832}} = 3.18 = 54\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{54}}{x} = 2{x^2}\).

Suy ra \(2{x^3} = 54\).

Do đó \({x^3} = 27\).

Vì vậy \(x = 3\).

Khi đó diện tích xây nhỏ nhất của bể là \(54\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Muốn số tiền thuê nhân công nhỏ nhất thì diện tích xây phải nhỏ nhất (do giá thuê là \(300\,\,000\) đồng\(/{{\rm{m}}^2}\)không thay đổi).

Số tiền thuê nhân công nhỏ nhất để xây bể là: \[54.300\,\,000 = 16\,\,200\,\,000\] (đồng).

Vậy số tiền thuê nhân công nhỏ nhất để xây bể là \[16\,\,200\,\,000\] đồng.