Bác Tín cần trồng lúa và khoai trên diện tích đất gồm 6 ha, với lượng phân bón dự trữ là 100 kg và sử dụng tối đa 240 ngày công. Để trồng 1 ha lúa cần sử dụng 20 kg phân bón, 30 ngày công với

Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích đất dùng để trồng lúa và trồng khoai (\(x \ge 0,y \ge 0\)).

Từ dữ kiện bài toán, ta lập hệ bất phương trình ràng buộc sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 6}\\{20x + 10y \le 100}\\{30x + 60y \le 240}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 6}\\{2x + y \le 10}\\{x + 2y \le 8}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\).

Lợi nhuận là: \(F\left( {x;y} \right) = 50x + 60y\) (triệu đồng).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta thu được miền nghiệm là miền tứ giác \(OABC\) với các đỉnh \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {5;0} \right)\), \(B\left( {4;2} \right)\), \(C\left( {0;4} \right)\).

Tính giá trị của biểu thức lợi nhuận \(F\left( {x;y} \right)\) tại các đỉnh:

Tại \(O\left( {0;0} \right) \Rightarrow F = 0\).

Tại \(A\left( {5;0} \right) \Rightarrow F = 50 \cdot 5 + 0 = 250\).

Tại \(B\left( {4;2} \right) \Rightarrow F = 50 \cdot 4 + 60 \cdot 2 = 200 + 120 = 320\).

Tại \(C\left( {0;4} \right) \Rightarrow F = 60 \cdot 4 = 240\).

Lợi nhuận lớn nhất bằng \(320\) triệu đồng khi \(x = 4\) và \(y = 2\).

Yêu cầu bài toán tính giá trị biểu thức: \({x^2} + {y^2} = {4^2} + {2^2} = 16 + 4 = 20\).

Đáp số: \(20\).