Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài m để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ.
6/6
Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài \(4\,\)m để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi \(r\) là bán kính của nửa đường tròn. Tìm \(r\) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(2\left( {h + r} \right) + \pi r = 4\) \( \Rightarrow h = \frac{{4 - 2r - \pi r}}{2}\).
Diện tích của khung cửa là \(S = \frac{1}{2}\pi {r^2} + 2rh\) \( = \frac{1}{2}\pi {r^2} + 2r\left( {\frac{{4 - 2r - \pi r}}{2}} \right)\) \( = - \frac{{\pi + 4}}{2}.{r^2} + 4r\).
Ta có \(h = \frac{{4 - 2r - \pi r}}{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < r < \frac{4}{{\pi + 2}}\).
Xét hàm số \(S\left( r \right) = - \frac{{\pi + 4}}{2}.{r^2} + 4r\) trên \(\left( {0;\frac{4}{{\pi + 2}}} \right)\) có \(S'\left( r \right) = - \left( {\pi + 4} \right)r + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow r = \frac{4}{{\pi + 4}}\)
Bảng biến thiên
Vậy \(S\left( r \right)\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow r = \frac{4}{{\pi + 4}}\).