Bác An có một tấm gỗ hình tam giác đều ABC cạnh 100 cm. Bác muốn cắt ở 3 góc đi 3 mảnh để tạo ra một tấm gỗ hình chữ nhật MNPQ. Tính diện tích lớn nhất của tấm gỗ hình chữ nhật MNPQ có thể tạ

Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(MQ = x\,\left( {cm} \right)\) (với \(0 < x < 100\))

Ta có \[KC = \frac{1}{2}.BC = 50cm\]

Xét tam giác \[AKC\] vuông tại \[K\] có: \[AK = \sqrt {A{C^2} - K{C^2}}  = \sqrt {{{100}^2} - {{50}^2}}  = 50\sqrt 3 \left( {cm} \right)\]

Khi đó \[QC = KC - KQ = 50 - \frac{x}{2}\]

Xét \[AKC\] có \[PQ\,{\rm{//}}\,AK\] suy ra \[\frac{{PQ}}{{AK}} = \frac{{QC}}{{KC}}\]

Suy ra \[PQ = \frac{{\left( {50 - \frac{x}{2}} \right).50\sqrt 3 }}{{50}} = 50\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\]

Diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] là

\[S = x.\left( {50\sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2} + 50\sqrt 3 x\]

\( =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 100x} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{x^2} - 100x + 2500 - 2500} \right)\)

\( =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {{{\left( {x - 50} \right)}^2} - 2500} \right] =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {x - 50} \right)^2} + 1250\sqrt 3 .\)

Vì \({\left( {x - 50} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {x - 50} \right)^2} \le 0\).

\( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\left( {x - 50} \right)^2} + 1250\sqrt 3  \le 1250\sqrt 3 \) suy ra \(S \le 1250\sqrt 3 \).

Dấu "=" xảy ra khi \(x = 50\).

Diện tích lớn nhất của tấm gỗ hình chữ nhật \[MNPQ\] có thể tạo được là: \(1250\sqrt 3 \,\left( {c{m^2}} \right)\)