Bác An cần thiết kế một nhà vườn ngoài trời để trồng hoa. Bác đã thiết kế và vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng AA ′ , BB ′ , CC ′
32/55
Bác An cần thiết kế một nhà vườn ngoài trời để trồng hoa. Bác đã thiết kế và vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng \[AA',\,BB',\,CC'\] và \[DD'\]. Phần mái là tứ giác \(A'B'C'D'\) và hình vuông \(ABCD\) nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng \(AB = 25\,{\rm{m}},AA' = BB' = 4\,{\rm{m}}\) và \(CC' = DD' = 3\,{\rm{m}}\).
a) Toạ độ điểm \(A'\left( {0;\,0;\,4} \right)\).
b) Đường thẳng \(A'D'\) có phương trình tham số là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 25t}\\{y = 0\,\,\,\,\,\,}\\{z = 4 - t}\end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{,t \in \mathbb{R}}\\{}\end{array}} \right.\].
c) Bác An đặt một camera ở vị trí \(E\) trên cột \(AA'\) và cách mặt đất \(7\,{\rm{m}}\). Một vật ở vị trí \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\) thoả mãn \(MA = MB = MC = MD = \sqrt {\frac{{697}}{2}} \) thì cách camera \(\frac{{\sqrt {1266} }}{2}{\rm{m}}\).
d) Gọi \(\alpha \) là góc hợp bởi đường thẳng \(A'D'\) và mặt đất. Khi đó \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {626} }}\,\).
a) Đúng. Ta có \[AA' = 4\,{\rm{m}}\] nên toạ độ \(A'\left( {0;\,0;\,4} \right)\).
b) Đúng. Toạ độ điểm \(D'\left( {25;\,0;\,3} \right)\) nên vectơ chỉ phương \[{\overrightarrow u _{A'D'}} = \overrightarrow {A'D'} = \left( {25;\,0;\, - 1} \right)\].
Phương trình đường thẳng \(A'D'\) có vectơ chỉ phương \[{\overrightarrow u _{A'D'}} = \left( {25;\,0;\, - 1} \right)\] và đi qua điểm \(A'\left( {0;\,0;\,4} \right)\) là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 25t}\\{y = 0\,\,\,\,\,\,}\\{z = 4 - t}\end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{,t \in \mathbb{R}}\\{}\end{array}} \right.\].
c) Sai. Điểm \[E\] nằm trên cột \(AA'\) và cách mặt đất 7 m suy ra toạ độ \(E\left( {0;\,0;\,7} \right)\).
Gọi \[I\] là giao điểm của \[AC\]và \[\;BD\]. Do \(ABCD\) là hình vuông có cạnh \(AB = 25\,{\rm{m}}\) nên điểm \[I\]có toạ độ \(I\left( {\frac{{25}}{2};\frac{{25}}{2};0} \right)\) mà \(MA = MB = MC = MD\), do đó \(I\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Suy ra \(M\left( {\frac{{25}}{2};\frac{{25}}{2};c} \right)\) mà \(MA = \sqrt {\frac{{697}}{2}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} + {c^2} = \frac{{697}}{2} \Leftrightarrow c = 6\)
\( \Rightarrow M\left( {\frac{{25}}{2};\frac{{25}}{2};6} \right)\) \( \Rightarrow ME = 17,706\).
d) Sai. Ta có \[\overrightarrow {A'D'} = \left( {25;\,0;\, - 1} \right)\] và vectơ pháp tuyến của mặt đất là \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;\,0;\,1} \right)\) do đó góc hợp với đường thẳng \(A'D'\) và mặt đất là \(\sin \alpha = \frac{{\left| {25.0 + 0.0 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{{25}^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {626} }}.\)