Ba con đường cắt nhau tạo ra một tam giác. Trong tam giác đó phải đặt xí nghiệp ở đâu để

Giả sử các giao điểm của ba con đường là các đỉnh của một tam giác ABC và AB≥BC≥AC. Đặt khoảng cách từ điểm D bất kỳ đến các cạnh của tam giác AB,BC,CA lần lượt là x, y và z.

Khi đó diện tích của tam giác ABC bằng tổng diện tích của tam giác ADB,BDC và ADC:

S=12x.AB+12y.BC+12z.AC≤12(x+y+z).AB.

Từ đó ta có bất đẳng thức x+y+z≥2SAB, trong đó dấu bất đắng thức chỉ xảy ra:

Hoặc khi z=y=0, nếu AB>BC,

Hoặc khi z=0, nếu AB=BC<AC,

Hoặc khi z, y, z bất kỳ, nếu AB=BC=AC.

Như vậy, ứng với các trường hợp ta có kết luận:

-   Xí nghiệp phải đặt ở đỉnh đối diện với cạnh lớn nhất.

-   Nếu có hai cạnh lớn nhất bằng nhau, thì xí nghiệp đặt ở điểm bất kì trên cạnh nhỏ nhất.

-   Nếu cả ba cạnh bằng nhau thì xí nghiệp đặt bất kì đầu trong tam giác kể cả trên một cạnh nào đó.