b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

b) Phần thuận: Trong đường tròn đường kính AB ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà CE = CB (giả thiết) nên suy ra ΔCBE vuông tại C.

⇒CEB^=45°⇒AEB^=180°−CEB^=135° (hai góc kề bù).

Mặt khác, AB cố định, nên khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì E chuyển động trên cung chứa góc 135° dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

Giới hạn: Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính của đường tròn, thì C trùng với B khi đó E trùng với B. Suy ra B là một điểm của quỹ tích.

Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A, thì khi đó E trùng với A nên A là một điểm của quỹ tích.

Phần đảo: Lấy E' bất kỳ trên cung chứa góc 135°. Kẻ AE' cắt đường tròn đường kính AB tại C'. Nối BE', BC'.

Ta có: AE'B^=135° (vì E nằm trên cung chứa góc 135°).

⇒BE'C'^=180°−AE'B^=45° (hai góc kề bù).

Trong đường tròn đường kính AB có: AC'B^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra tam giác E'C'B vuông cân tại C'. Do đó C'E = C'B.

Vậy C' là một điểm thuộc quỹ tích.

Kết luận: Vậy E chuyển động trên một cung chứa góc 135° vẽ trên đoạn AB, nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C.