Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau: (ảnh 1)

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tam giác SAC có SA = SC nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO ⊥ AC.

Xét tam giác SBD có SD = SB nên tam giác SBD cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO ⊥ BD.

Do đó SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ AB.

Kẻ OH ⊥ AB tại H mà SO ⊥ AB. Khi đó AB ⊥ (SOH). Suy ra AB ⊥ SH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SH và HO mà SH,HO=SHO^.

Xét tam giác ABC có OH là đường trung bình nên OH=BC2=a2.

Xét tam giác SAH vuông tại H, có AH=AB2=a2;SA=a.

Khi đó SH=SA2−AH2=a2−a22=a32.

Xét tam giác SHO vuông tại O, có cosSHO^=OHSH=33.

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là 33.

b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD).