b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình căn x^2 -(2m-1) -m^2 +5m-1=x+1 có một nghiệm duy nhất.

b)Xét phương trình x2−(2m−1)x−m2+5m+154=x+1(*)

Điều kiện x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 1

(*) ⇔ x² – (2m – 1)x – m² + 5m + 154 = x² + 2x + 1

⇔ (2m + 1)x + m² – 5m – 114 = 0

+) TH1: 2m + 1 = 0 ⇔ m = −12. Khi đó ta có:

2−12+1.x+−122−5.−12−114=0 = 0

⇔ 0.x + 0 = 0 (luôn đúng) với mọi x ≥ – 1

Do đó m = −12 thỏa mãn.

+) TH1: 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −12. Khi đó ta có:

(2m + 1)x + m² – 5m – 114 = 0

⇔ x = −m2−5m−1142m+1

Để phương trình có nghiệm thì −m2−5m−1142m+1≥−1

⇔ m² – 5m – 114 ≥ – 2m – 1

⇔ m² – 3m – 74 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai f(m) = m² – 3m – 74, có a = 1 và ∆ = (– 3)² – 4.1.−74 = 16 > 0 suy ra f(m) có hai nghiệm m₁ = −12 và m₂ = 72.

Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai ta có:

f(m) ≥ 0 ⇔ m ≤ −12 hoặc m ≥ 72.

Suy ra m < −12 hoặc m ≥ 72.

Vậy với m ≤ −12 hoặc m ≥ 72 thì phương trình có nghiệm.