Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:

Cho ΔABC, A^≥90°. Chứng minh rằng BC2≥AB2+AC2.

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 1)

Vẽ BH⊥AC. Vì A^≥90° nên H nằm trên tia đối của tia AC.

Xét ΔHBC và ΔHBA vuông tại H, ta có:

BC2=HB2+HC2=AB2−HA2+HA+AC2=AB2−HA2+HA2+AC2+2HA.AC=AB2+AC2+2HA.AC

Vì HA.AC≥0 nên BC2≥AB2+AC2 ( dấu “=” xảy ra khi H≡A tức là khi ΔABCvuông ).

Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi (h.1.14)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 2)

Ta có: A^+B^+C^+D^=360°

Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 90°, giả sử A^≥90°

Xét ΔABD ta có BD2≥AB2+AD2>102+102=200 suy ra BD>200, do đó BD > 14

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.1.15)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10. (ảnh 3)

Nối CA, Ta có: ACD^+ACB^+BCD^=360°.

Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 120°.

Giả sử ACB^≥120°, do đó ACB^ là góc tù

Xét ΔACB có AB2≥AC2+BC2>102+102=200

Suy ra AB>200⇒AC>14

Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.

b) MA + MB + MC + MD ≥ 1/2 (AB + BC + CD + DA).