c) Gọi I=MN∩AC. Từ I kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA tại Q.

Ta có IQ qua I∈PIQ//SCSC//P⇒IQ⊂P hay P≡QMN.

Gọi K=SO∩QI. Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD tại R, P.

Ta có RP qua K∈PRP//MNMN⊂P⇒RP⊂P hay P≡MNPQR

Dựa vào hình vẽ ta có thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR.

Ta có SMNPQR=SMNPR+SPQR

Mặt phẳng (P) cắt (SBC) theo giao tuyến RM và (P) song song với SC nên RM // SC.

Mặt phẳng (P) cắt (SCD) theo giao tuyến NP và (P) song song với SC nên NP // SC

Vậy tứ giác MNPR là hình bình hành có MN⊥NP (do MN // BD; NP // SC; BD⊥SC) nên là hình chữ nhật.

Tam giác PQR có PR // BD; BD⊥SAC chứa QK nên là QK⊥PR.

Do QK // SC và AIAC=34 nên

QI=34SC=34SA2+AC2=34a32+a22=3a54

Suy ra QK=QI−KI=QI−SC2=3a54−a52=3a54

⇒SPQR=12PR.QK=12.a22.a54=a21016

Lại có SMNPR=MN.NP=BD2.SC2=a22.a52=a2104

Suy ra SMNPQR=SMNPR+SPQR=a2104+a21016=5a21016

b) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với SBD