b) Chứng minh rằng BD vuông góc (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

b) Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC.

Do SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ BD.

Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC và SA ∩ AC = A trong (SAC).

Suy ra BD ⊥ (SAC).

Gọi O = AC ∩ BD, kẻ OK ⊥ SC (K ∈ SC).

Do BD ⊥ (SAC) và OK ⊂ (SAC) nên BD ⊥ OK.

Ta có: OK ⊥ SC và OK ⊥ BD.

Từ đó ta có đoạn thẳng OK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC nên d(BD, SC) = OK.

Do ABCD là hình vuông nên ABC^=90°, do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

Suy ra AC=a2.

Do O = AC ∩ BD và AC, BD là hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Suy ra O là trung điểm của AC nên OC=AC2=a22.

Do SA ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AC.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAC vuông tại A (do SA ⊥ AC) có:

SC² = SA² + AC².

Do đó SC=a2+a22=a2+2a2=a3.

Xét ∆SAC và ∆OKC có:

SAC^=OKC^=90°;

OCK^ là góc chung

Do đó ∆SAC ᔕ ∆OKC (g.g).

Suy ra SAOK=SCOC (tỉ số đồng dạng)

Nên OK=SA.OCSC=a.a22a3=a66.

Khi đó dBD,SC=OK=a66.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC a66.