Cho tam giác AKC cân tại A, đường cao AB, dựng hình chữ nhật ABCM, vẽ BD vuông góc với AC. Gọi F, N lần lượt là trung điểm của CD và AM. Chứng minh KD vuông góc với FN. (ảnh 1)

Gọi Q là trung điểm của BD.

Mà F là trung điểm của CD (giả thiết).

Suy ra FQ // BC và FQ=BC2 (1)

Hình chữ nhật ABCM, có: AM = BC và AM // BC (2)

Lại có N là trung điểm AM. Suy ra AN=AM2=BC2 (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra FQ = AN và FQ // BC // AN.

Do đó tứ giác AQFN là hình bình hành.

Vì vậy AQ // NF (4)

Lại có FQ // BC (chứng minh trên) và BC ⊥ AB (giả thiết).

Suy ra FQ ⊥ AB.

Mà BD ⊥ AC (giả thiết).

Do đó Q là trực tâm của tam giác ABF.

Vì vậy AQ ⊥ FB (5)

Tam giác AKC cân tại A có AB là đường cao.

Suy ra AB cũng là đường trung tuyến của tam giác AKC.

Tam giác CDK có F, B lần lượt là trung điểm CD, KC.

Suy ra FB là đường trung bình của tam giác CDK.

Do đó FB // KD (6)

Từ (4), (5), (6), ta thu được FN ⊥ KD.

b) Chứng minh MB2 = MC.MD.