(a^3/a^2 ab b^2) (b^3/b^2 bc c^2) (c^3/c^2 ac a^2)>=a^2

Lời giải:

Với mọi số dương x, y ta có: \(\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} \ge \frac{1}{3}\).

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với

3(x² – xy + y²) ≥ x² + xy + y² 

 2x² - 4xy + 2y² ≥ 0

2(x - y)² ≥ 0 (đúng).

Đặt vế trái của bất đẳng thức bài cho là A.

Đặt B = \(\frac{{{b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

Ta được A – B = \(\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3} - {a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

\(A - B = \frac{{(a - b)({a^2} + ab + {b^2})}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{(b - c)({b^2} + bc + {c^2})}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{(c - a)({c^2} + ca + {a^2})}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

A – B = a – b + b – c + c – a = 0

A = B

Ta có:

\(2{\rm{A}} = A + B = \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)\(\)

\(2{\rm{A}} = \frac{{(a + b)({a^2} - ab + {b^2})}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{(b + c)({b^2} - bc + {c^2})}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{(c + a)({c^2} - ca + {a^2})}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

\(2{\rm{A}} \ge \frac{{a + b}}{3} + \frac{{b + c}}{3} + \frac{{c + a}}{3}\)

\(A \ge \frac{{a + b + c}}{3}\)