a) Số nguyên dương m được gọi là số tốt nếu tổng các bình phương của tất cả các ước dương

a)Do p. q là các số nguyên nên pq có các ước dương là 1, p, q, pq.

Vì p, q là số tốt nên \[{p^2} + {q^2} = 6pq + 8\;(1)\]

 \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow pq + 2 = {p^2} + {q^2} - 5pq - 6 = {p^2} + {q^2} - 2pq - 3pq - 6 = {(p - q)^2} - 3(qp + 2)\\ \Leftrightarrow 4(qp + 2) = {(p - q)^2} \Rightarrow pq + 2 = {\left( {\frac{{p - q}}{2}} \right)^2}\;\left( 2 \right)\end{array}\]

Từ (1) \[ \Leftrightarrow {(p - q)^2} = 4pq + 8\]

Do \[4pq + 8 \vdots 2\] nên \[{(p - q)^2} \vdots 2\]

\[ \Rightarrow p - q \vdots 2\] ( Do 2 là số nguyên tố)

\[ \Rightarrow \frac{{p - q}}{2} \in Z\] (3)

Từ (2) và (3) \[ \Rightarrow pq + 2\] là số chính phương.

b) \[{x^{2025}} - {y^{2025}} + {y^{1350}} + {y^{675}} = 2\]. Đặt \[{x^{675}} = m:{y^{675}} = n \Rightarrow {y^{2025}} = {n^3}:{y^{1350}} = {n^2}\]

Do x,y \[ \in \]Z phương trình đã cho trở thành \[{m^3} = {n^3} - {n^2} - n + 2\]

Xét \[{\left( {n - 1} \right)^3} - {m^3} = - 2{n^2} + 4n - 3 = - 2({n^2} - 2n + 1) - 1 - 2{(n - 1)^2} - 1 < 0\]

Do \[ - 2{(n - 1)^2} - 1 < 0\] với mọi n \[ \Rightarrow {(n - 1)^3} < {m^3}\] (1)

Xét \[{(n + 3)^3} - {m^3} = 10{n^2} + 28n + 25 = 10\left( {{n^2} + \frac{{14}}{5} + \frac{{49}}{{25}}} \right) + \frac{{27}}{5} = 10{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} + \frac{{27}}{5}\]

Do \[10{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} + \frac{{27}}{5} > 0\] với mọi n.

Suy ra \[{(n + 3)^3} > {m^3}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra :\[{(n + 1)^3} < {m^3} < {(n + 3)^3}\]

Suy ra \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^3} = {n^3}}\\{{m^3} = {{(n + 1)}^3}}\\{{m^3} = {{(n + 2)}^3}}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\\{}\end{array}\]

*TH1: \[{m^3} = {n^3} \Leftrightarrow {n^2} + n - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 1}\\{n = - 2}\end{array}} \right.\] Với \[n = 1 \Rightarrow {y^{675}} = 1 \Rightarrow y = 1(TM)\]

Với \[n = - 2 \Rightarrow {y^{675}} = - 2 \Rightarrow \] không có giá trị nào của y \[ \in {\rm Z}\] thỏa mãn.

Thay y=1 vào phương trình đã cho

\[ \Leftrightarrow {x^{2025}} + 1 = 2\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^{2025}} = 1\\ \Leftrightarrow x = 1(TM)\end{array}\]

*TH2: \[{m^3} = {(n + 1)^3} \Leftrightarrow 4{n^2} + 4n - 1 = 0\]

\[\Delta = 8\] không là số chính phương.

Suy ra không có giá trị n\[ \in {\rm Z}\].

*TH3: \[{m^3} = {(n + 2)^3} \Leftrightarrow 7{n^2} + 13n + 6 = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow (n + 1)(7n + 6) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = - 1}\\{n = \frac{{ - 6}}{7}}\end{array}} \right.\end{array}\]( loại vì n không thuộc Z)

Với \[n = - 1 \Rightarrow {y^{675}} = - 1 \Leftrightarrow y = - 1(TM)\]

Thay y=-1 vào phương trình ban đầu ta có:

\[{x^{2025}} + 1 = 2{ \Leftrightarrow ^{2025}} = 1 \Leftrightarrow x = 1(TM)\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên \[(x,y) \in \{ (1;1);(1; - 1)\} \]