a) Rút gọn M

Lời giải:

a) \(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 6}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 6}} + \frac{{17\sqrt x  + 30}}{{(\sqrt x  + 6)(\sqrt x  - 6)}}\)

=\(\frac{{x - 6\sqrt x  + \sqrt x  + 6 + 17\sqrt x  + 30}}{{(\sqrt x  - 6)(\sqrt x  + 6)}}\)

\( = \frac{{12\sqrt x  + x + 36}}{{(\sqrt x  - 6)(\sqrt x  + 6)}}\)

=\(\frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 6}}\).

b) Ta có L = M.N = \(\frac{{24}}{{\sqrt x  + 6}}\).\(\frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 6}}\)= \(\frac{{24}}{{\sqrt x  - 6}}\)

Để L có giá trị nguyên lớn nhất thì \(\sqrt x  - 6\)có giá trị là ước dương nhỏ nhất của 24

Suy ra \(\sqrt x  - 6\)=1, suy ra x = 49.

Vậy x = 49 thì L có giá trị nguyên lớn nhất.