a) Phân tích đa thức P(x,y) = 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3}\) thành nhân tử.

a)\(\begin{array}{l}P\left( {x,y} \right) = 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3}\\ = 4{x^3} - 4x{y^2} + x{y^2} + {y^3}\\ = 4x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {y^2}\left( {x + y} \right)\\ = 4x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + {y^2}\left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right)\\ = \left( {x + y} \right){\left( {2x - y} \right)^2}\end{array}\)

Với mọi số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \ge 0\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right){\left( {2x - y} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3} \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{x^3} + {y^3} \ge 3x{y^2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 0\\y = 2x\end{array} \right.\)

b)Với mọi \(i\) có giá trị từ 1 đến 21, ta có:

\(\begin{array}{l}{x_i} + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_i} + 2} \right){\left( {{x_i} - 1} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow x_i^3 - 3{x_i} + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow x_i^3 + 2 \ge 3{x_i}\left( * \right)\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x_i} = 1\) hoặc \({x_i} =  - 2\).

Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\)ta có:

\(\begin{array}{l}x_1^3 + 2 \ge 3{x_1}\\x_2^3 + 2 \ge 3{x_2}\\...\\x_{21}^3 + 2 \ge 3{x_{21}}\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}x_1^3 + x_2^3 + ... + x_{21}^3 + 42 \ge 3\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_{21}}} \right)\\ \Leftrightarrow 54 \ge 3\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_{21}}} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + ... + {x_{21}} \le 18\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi có 1 số bằng \( - 2\)và 20 số còn lại bằng 1. (không chỉ ra dấu “=” trừ 0,25)