a) $\overrightarrow {AM} \cdot \,\overrightarrow {MC} = 0$. b) $\left| {\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = 10$.

14/21

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB \bot \left( {BCD} \right)$, $AB = 4$, tam giác $BCD$ đều cạnh 3, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, điểm $M$ là trung điểm $CD$. Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a $, $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b $, $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c $.

a) $\overrightarrow {AM} \cdot \,\overrightarrow {MC} = 0$.

b) $\left| {\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = 10$.

c) $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$.

d) $AG = \frac{{14}}{3}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Lời giải

$a) $\overrightarrow {AM} \cdot \,\overrightarrow {MC} = 0$. b) $\left| {\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = 10$. (ảnh 1)$

a) Đúng. $AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BC \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5$, tương tự $AD = 5$.

$M$ là trung điểm $CD$$ \Rightarrow AM \bot MC$ (do $\Delta ACD$ cân tại $A$)$ \Rightarrow \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {MC} = 0$.

b) Sai. Ta có $\left| {\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 5$.

c) Đúng. Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$$ \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $ .

$\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} $

$ = 3\overrightarrow {AG} + \left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {AG} $.

$ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$.

d) Sai. Từ đẳng thức $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$, ta suy ra$AG < \frac{1}{3}\left( {\left| {\vec a} \right| + \left| {\vec b} \right| + \left| {\vec c} \right|} \right) = \frac{1}{3}\left( {4 + 5 + 5} \right) = \frac{{14}}{3}$.

Ngoài ra, ta có thể tính $AG$ bằng định lý Pythagore.

Ta có $BG = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 $. Khi đó, $AG = \sqrt {B{G^2} + A{B^2}} = \sqrt {19} < \frac{{14}}{3}$.

Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

a) \(\overrightarrow {AM} \cdot \,\overrightarrow {MC} = 0\). b) \(\left| {\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = 10\).