a) Một cây lăn sơn tường có dạng một khối trụ với bán kính đáy là 5 cm và chiều cao là 23 cm. Hỏi sau khi lăn đủ 500 vòng thì diện tích tường đã được sơn là bao nhiêu m^2?

14/14

(1,5 điểm).

a) Một cây lăn sơn tường có dạng một khối trụ với bán kính đáy là $5{\rm{ cm}}$ và chiều cao là $23{\rm{ cm}}$(hình vẽ bên). Hỏi sau khi lăn đủ 500 vòng thì diện tích tường đã được sơn là bao nhiêu ${m^2}$? (Cho $\pi = 3,14$). $$\widehat {ACB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắ (ảnh 1)$

b) Một khinh khí cầu bay từ mặt đất (điểm $I$) dọc theo sườn đồi với vận tốc không đổi là $3km/h$, sườn đồi nghiêng $35^\circ $ so với phương ngang. Tại một thời điểm, hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm $P$ và $Q$ nằm trên sườn đồi và cách nhau $65m$, các điểm $P,Q$ và $I$ thẳng hàng, đồng thời $P$ cách $I$ một khoảng là $70m$ (như hình vẽ). Người quan sát tại $P$ xác định góc nâng của khinh khí cầu (góc giữa phương ngang và phương $PO)$ là $62^\circ $. Cùng lúc đó, người quan sát tại $Q$ xác định góc nâng của khinh khí cầu đó (góc giữa phương ngang và phương $QO)$ là $77^\circ .$ Tính thời gian từ lúc khinh khí cầu xuất phát đến khi hai người tại vị trí $P,Q$ quan sát (làm tròn đến đơn vị phút).

$$\widehat {ACB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắ (ảnh 2)$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Nội dung

Điểm

a (0,75 điểm)	Đổi $5{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,05{\rm{ m}}$, $23{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,23{\rm{ m}}$. Diện tích tường được sơn khi lăn cây lăn sơn 1 vòng bằng diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính $0,05{\rm{ m}}$ và chiều cao $0,23{\rm{ m}}$. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng: ${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .0,05.0,23 = 0,023\pi $$\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$	0,25
a (0,75 điểm)	Diện tích tường sơn được sau khi cây sơn lăn đủ 500 vòng là $500 \times {S_{xq}} = 11,5\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right) = 36,11\,({m^2})$.	0,5
b (0,75 điểm)	Mô hình hóa như hình vẽ bên, tia $Ix$ là phương ngang, tia $Py//Ix.$ Ta có $\widehat {OPQ} = \widehat {OPy} - \widehat {QPy} = 62^\circ - 35^\circ = 27^\circ .$ Tương tự tính được $\widehat {OQz} = 77^\circ - 35^\circ = 42^\circ .$ $$\widehat {ACB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắ (ảnh 3)$	0,25
	Kẻ $OH$ vuông góc với $PQ$ tại $H.$ Xét tam giác $OQH$ vuông tại $H$ có $OH = QH.\tan \widehat {OQH} = \left( {PH - PQ} \right).\tan \widehat {OQH}$ Xét tam giác $OPH$ vuông tại $H$ có $OH = PH.\tan \widehat {OPH}$ Suy ra $\left( {PH - PQ} \right).\tan \widehat {OQH} = PH.\tan \widehat {OPH}$ nên $PH = \frac{{PQ.\tan \widehat {OQH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}}$ Suy ra $IH = IP + PH = 70 + \frac{{65.\tan \widehat {OQH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}} = 70 + \frac{{65.\tan 42^\circ }}{{\tan 42^\circ - \tan 27^\circ }}$ và \[OH = \frac{{PQ.\tan \widehat {OQH}.\tan \widehat {OPH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}} = \frac{{65.\tan 42^\circ .\tan 27^\circ }}{{\tan 42^\circ - \tan 27^\circ }}\]	0,25
	Xét tam giác $OIH$ vuông tại $H$ có $OI = \sqrt {O{H^2} + I{H^2}} \approx 232,6\left( m \right)$ hay $OI \approx 0,2326\left( {km} \right)$ Thời gian khinh khí cầu bay được là $t = \frac{{OI}}{3} \approx 0,078\left( h \right)$ hay xấp xỉ 5 phút.	0,25

a (0,75 điểm)	Đổi \(5{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,05{\rm{ m}}\), \(23{\rm{ cm }} = {\rm{ }}0,23{\rm{ m}}\). Diện tích tường được sơn khi lăn cây lăn sơn 1 vòng bằng diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính \(0,05{\rm{ m}}\) và chiều cao \(0,23{\rm{ m}}\). Diện tích xung quanh của hình trụ bằng: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .0,05.0,23 = 0,023\pi \)\(\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)	0,25
a (0,75 điểm)	Diện tích tường sơn được sau khi cây sơn lăn đủ 500 vòng là \(500 \times {S_{xq}} = 11,5\pi \left( {{{\rm{m}}^2}} \right) = 36,11\,({m^2})\).	0,5
b (0,75 điểm)	Mô hình hóa như hình vẽ bên, tia \(Ix\) là phương ngang, tia \(Py//Ix.\) Ta có \(\widehat {OPQ} = \widehat {OPy} - \widehat {QPy} = 62^\circ - 35^\circ = 27^\circ .\) Tương tự tính được \(\widehat {OQz} = 77^\circ - 35^\circ = 42^\circ .\) $\(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắ (ảnh 3)$	0,25
	Kẻ \(OH\) vuông góc với \(PQ\) tại \(H.\) Xét tam giác \(OQH\) vuông tại \(H\) có \(OH = QH.\tan \widehat {OQH} = \left( {PH - PQ} \right).\tan \widehat {OQH}\) Xét tam giác \(OPH\) vuông tại \(H\) có \(OH = PH.\tan \widehat {OPH}\) Suy ra \(\left( {PH - PQ} \right).\tan \widehat {OQH} = PH.\tan \widehat {OPH}\) nên \(PH = \frac{{PQ.\tan \widehat {OQH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}}\) Suy ra \(IH = IP + PH = 70 + \frac{{65.\tan \widehat {OQH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}} = 70 + \frac{{65.\tan 42^\circ }}{{\tan 42^\circ - \tan 27^\circ }}\) và \[OH = \frac{{PQ.\tan \widehat {OQH}.\tan \widehat {OPH}}}{{\tan \widehat {OQH} - \tan \widehat {OPH}}} = \frac{{65.\tan 42^\circ .\tan 27^\circ }}{{\tan 42^\circ - \tan 27^\circ }}\]	0,25
	Xét tam giác \(OIH\) vuông tại \(H\) có \(OI = \sqrt {O{H^2} + I{H^2}} \approx 232,6\left( m \right)\) hay \(OI \approx 0,2326\left( {km} \right)\) Thời gian khinh khí cầu bay được là \(t = \frac{{OI}}{3} \approx 0,078\left( h \right)\) hay xấp xỉ 5 phút.	0,25