a) Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức

1/5

\(T = \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[2]{{10 - 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\).

b) Với mọi số nguyên dương \(n\), chứng minh \(A = \sqrt {{n^2} + {n^2}{{(n + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \) là số nguyên dương nhưng không là số chính phương.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a)\(\begin{array}{l}T = \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\\ = \frac{{2\left( {1 + \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{4 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \frac{{2\left( {1 + \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{4 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1\\\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 3 \\\sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^3}}} = 1 - \sqrt 3 \end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}T = \frac{{2\left( {1 + 1 + \sqrt 3 } \right)}}{{4 + \sqrt 3 + 1}} + \frac{{2\left( {1 + 1 - \sqrt 3 } \right)}}{{4 - \sqrt 3 + 1}}\\ = \frac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{5 + \sqrt 3 }} + \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{{5 - \sqrt 3 }}\\ = \frac{{\left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + \sqrt 3 } \right)\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}} + \frac{{\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + \sqrt 3 } \right)\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}}\\ = \frac{{14 + 6\sqrt 3 }}{{22}} + \frac{{14 - 6\sqrt 3 }}{{22}}\\ = \frac{{28}}{{22}} = \frac{{14}}{{11}}\end{array}\)

Vậy \(T = \frac{{14}}{{11}}\)

b)\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{n^2} + {n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{n^2} + {n^2}\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + {n^2} + 2n + 1} \\ = \sqrt {{n^2} + {n^4} + 2{n^3} + {n^2} + {n^2} + 2n + 1} \\ = \sqrt {{n^4} + 2{n^3} + 3{n^2} + 2n + 1} \\ = \sqrt {{{\left( {{n^2} + n + 1} \right)}^2}} \end{array}\)

Vì \(n\)dương nên \({n^2} + n + 1 > 0\)

Do đó \(A = \sqrt {{{\left( {{n^2} + n + 1} \right)}^2}} = {n^2} + n + 1\).

Vì \(n\) nguyên dương nên \(A = {n^2} + n + 1\) cũng là số nguyên dương.

Vì \(n\) nguyên dương, ta có:

\(\begin{array}{l}A = {n^2} + n + 1 > {n^2}\\A = {n^2} + n + 1 < {n^2} + 2n + 1 = {\left( {n + 1} \right)^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow {n^2} < A < {\left( {n + 1} \right)^2}\)

Suy ra \(A\) không là một số chính phương.