a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x^3 + 3x^2 – 2. b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x^3 – 3x^2 + 5 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt. c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm s

a) Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = −3x² + 6x

           y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Điểm cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là (2; 2) và (0; −2).

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(1; 0) làm tâm đối xứng.

b) Ta có: x³ – 3x² + 5 – m = 0 ⇔ −x³ + 3x² – 2 = 3 – m.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 3 – m cắt đồ thị y = −x³ + 3x² – 2 tại ba điểm phân biệt.

Điều này tương đương với −2 < 3 – m < 2 ⇔ 1 < m < 5.

c) Ta có: y' = −3x² + 6x = (−3x² + 6x – 3) + 3 = −3(x – 1)² + 3 ≤ 3, ∀x ∈ ℝ.

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất bằng 3 tại x = 1.

Phương trình tiếp tuyến này là y = y'(1)(x – 1) + y(1)

                                                   ⇔ y = 3(x – 1) + 0

                                                   ⇔ y = 3x – 3.