a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = (2x-1)/(x-1) Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị. b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai
a) Tập xác định: D = ℝ\{1}.
Chiều biến thiên: y' = \(\frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) < 0, ∀x ≠ 1.
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (−∞; 1) và (1; +∞).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\). Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Giới hạn vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \). Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b) Đường thẳng thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H): y = \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) = −x + m có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Ta có: \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) = −x + m
⇔ 2x − 1 = (x – 1)(−x + m).
⇔ x2 + (1 – m)x + m – 1 = 0 (x ≠ 1)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\1 + 1 - m + m - 1 \ne 0\end{array} \right.\) ⇔ m2 – 6m + 5 > 0 ⇔ m ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞).
c)
Lấy điểm M\(\left( {t;\frac{{2t - 1}}{{t - 1}}} \right)\) bất kì thuộc đồ thị (H) với t ≠ 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại tiếp điểm M là
∆: y = y'(t)(x – t) + y(t) hay y = \(\frac{{ - 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{2t - 1}}{{t - 1}}\).
Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận đứng tại A\(\left( {1;\frac{{2t}}{{t - 1}}} \right)\). Ta có: IA = \(\frac{2}{{\left| {t - 1} \right|}}\).
Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận ngang tại điểm B(2t – 1; 2). Ta có IB = 2\(\left| {t - 1} \right|\).
Vậy diện tích tam giác IAB là \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\left| {t - 1} \right|}}.2\left| {t - 1} \right| = 2\) (đvdt).