a) Hai tam giác AMN và CQN bằng nhau.

Lời giải:

 

a) Xét ∆AMN và ∆CQN có:

AN = NC (do N là trung điểm của AC)

\[\widehat {ANM} = \widehat {CNQ}\] (đối đỉnh)

NM = NQ (gt)

Do đó ∆AMN = ∆CQN (c-g-c).

b) Do ∆AMN = ∆CQN (câu a)

Suy ra \[\widehat {MAN} = \widehat {NCQ}\] (hai góc tương ứng)

Mà \[\widehat {MAN},\,\,\widehat {NCQ}\] là hai góc so le trong nên AM // CQ

Suy ra MB // CQ.

c) Do ∆AMN = ∆CQN (câu a)

Suy ra AM = CQ (hai cạnh tương ứng)

Mà AM = MB (do M là trung điểm của AB) nên MB = CQ

Do BM // CQ (câu b) nên \[\widehat {BMC} = \widehat {QCM}\] (so le trong)

Xét ∆BMC và ∆QCM có:

BM = CQ,

\[\widehat {BMC} = \widehat {QCM}\],

CM là cạnh chung

Do đó ∆BMC = ∆QCM (c-g-c)

Suy ra BC = MQ (hai cạnh tương ứng)

Do NM = NQ nên \[MN = \frac{1}{2}MQ\]

Mà BC = MQ (cmt) nên \[MN = \frac{1}{2}BC.\]