a) Hai số tư nhiên khác nhau được gọi là "thân thiết" nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho

a)Ta có nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 3 sẽ có số dư là 0 hoặc 1.

Giả sử \(a\)và \(b\)là hai số “thân thiết” \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} \vdots 3\).

Ta sẽ chứng minh cả \(a\)và \(b\) đều chia hết cho 3.

Thật vậy, giả sử trong hai số \(a\)và \(b\)có một số không chia hết cho 3. Không mất tính tổng quát, giả sử số đó là \(a\).

Suy ra \({a^2}\) chia 3 dư 1.

Vì \({a^2} + {b^2} \vdots 3\)và \({a^2}\) chia 3 dư 1 nên \({b^2}\)phải chia 3 dư 2. Điều này vô lí vì \({b^2}\)khi chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1.

Vậy điều giả sử là sai. Do đó nếu \(a\)và \(b\)là hai số “thân thiết” thì \(a\)và \(b\) đều chia hết cho 3.

Tập hợp \(X\)có \(\left[ {\frac{{2021}}{3}} \right] = 673\)số chia hết cho 3.

Số cặp số “thân thiết” là \(\frac{{673.672}}{2} = 226128\).

b)Gọi \(n\left[ i \right]\) là số môn thi có số lượng thí sinh tham gia là \(i\left( {i,n\left[ i \right] \in \mathbb{N}} \right)\).

Gọi \(S = \left\{ {i|i > 0,n\left[ i \right] > 0} \right\}\).

Do có ít nhất 5 môn có số lượng thí sinh tham gia đôi một khác nhau nên \(S\)có ít nhất 5 phần tử.

Giả sử \(a,b\left( {a > b} \right)\) là 2 phần tử lớn nhất của \(S\)và \(d,e\left( {d > e} \right)\)là hai phần tử nhỏ nhất của \(S\).

Rõ ràng \(n\left[ a \right],n\left[ b \right],n\left[ d \right],n\left[ e \right]\) đều lớn hơn hoặc bằng 1.

Lấy 1 môn có số lượng thí sinh tham gia là\(a\)và 1 môn có số lượng thi là \(b\). Theo điều kiện 2, tồn tại hai môn khác có tổng số lượng thí sinh tham gia là \(a + b\). Vì \(a,b\left( {a > b} \right)\) là 2 phần tử lớn nhất của \(S\)nên hai môn khác này phải có 1 môn có số lượng thí sinh là \(a\), 1 môn có số lượng thí sinh là \(b\), dẫn đến \(n\left[ a \right] \ge 2,n\left[ b \right] \ge 2\).

Lại lấy 2 môn có số lượng thí sinh tham gia là \(a\). Theo điều kiện 2, tồn tại hai môn khác có tổng số lượng thí sinh tham gia là \(2a\). Vì \(a\) là phần tử lớn nhất của \(S\)nên hai môn khác này phải có số lượng thí sinh là \(a\), dẫn đến \(n\left[ a \right] \ge 4\).

Lập luận tương tự ta cũng có \(n\left[ d \right] \ge 2,n\left[ e \right] \ge 4\).

Vì \(S\)có ít nhất 5 phần tử nên ta lấy trường hợp ít nhất, \(S\)có 5 phần tử là \(a,b,c,d,e \Rightarrow n\left[ c \right] \ge 1\).

Vậy kỳ thi đó có ít nhất \(4 + 2 + 1 + 2 + 4 = 13\)môn thi.

Ta có thể chỉ ra một trường hợp là số thí sinh dự thi các môn lần lượt là 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5. (không lấy ví dụ trừ 0,25)