a) H là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác DEF.

Lời giải:

 

 a) Xét tứ giác BFHD có:\(\widehat {BFH} = \widehat {BDH} = 90^\circ \)

Suy ra BFHD là tứ giác nội tiếp, do đó \[\widehat {FDH} = \widehat {FBH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HF)

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat {CEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ \)

Suy ra CEHD là tứ giác nội tiếp, do đó \[\widehat {EDH} = \widehat {ECH}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

Mà góc \[\widehat {FBH} = \widehat {ECH}\] (cùng phụ với góc BAC)

Nên \[\widehat {FDH} = \widehat {EDH}\]

Suy ra DH là phân giác của \[\widehat {FDE}\].

Chứng minh tương tự, ta có EH là tia phân giác của \(\widehat {FED}\)

Do đó H là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác DEF.

b) Xét ∆DPEA có DH là phân giác của \[\widehat {PDE}\] nên \[\frac{{HP}}{{HE}} = \frac{{DP}}{{DE}}.\]

Lại có DH ⊥ DB nên DB là tia phân giác của góc ngoài của ∆PDE tại đỉnh D.

Do đó \(\frac{{DP}}{{DE}} = \frac{{BP}}{{BE}}\)

Suy ra \[\frac{{HP}}{{HE}} = \frac{{BP}}{{BE}}.\]