a) Giải phương trình: \(3{x^2} + x - 6 = 4x\left( {\sqrt {5x - 6}  - 1} \right)\)

a) Điều kiện: \(x \ge \frac{6}{5}\)

Từ giả thiết ta có: \( - {x^2} + 5x - 6 = 4x\left( {\sqrt {5x - 6}  - x} \right)\) \( \Leftrightarrow  - {x^2} + 5x - 6 = 4x.\frac{{ - {x^2} + 5x - 6}}{{\sqrt {5x - 6}  + x}}\)

Vì \(x \ge \frac{6}{5}\) nên phương trình tương đương: \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {1 - \frac{{ - {x^2} + 5x - 6}}{{x + \sqrt {5x - 6} }}} \right) = 0\)

 Do đó x = 2 hoặc x = 3 (thoả mãn điều kiện) hoặc: \(3x = \sqrt {5x - 6\;} \)  (*)

Giải phương trình (*): \(9{x^2} = 5x - 6 \Leftrightarrow x\left( {x - \frac{5}{9}} \right) + \frac{2}{3} = 0\) ( vô nghiệm vì x ≥ \(\frac{6}{5}\) > \(\frac{5}{9}\))

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 và x = 3

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - x{y^2} - 6y = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)}\\{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 3\left( {xy + 2} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Xét (2): \(\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 3\left( {xy + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} = 6\)

Từ (1): \({x^3} - x{y^2} - y\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} - x{y^2} - {\rm{y}}{{\rm{x}}^2} - 2{y^3} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = 0\)

Ta để ý (x, y) = (0,0) không là nghiệm của hệ

do đó \({x^2} + xy + {y^2} = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{y^2} > 0\).

 Vậy \(x = 2y \Rightarrow 6{y^2} = 6 \Rightarrow y =  \pm 1\)

Nếu \(y = 1 \Rightarrow x = 2\) (Thử lại thoả mãn )

Nếu \(y =  - 1 \Rightarrow x =  - 2\)(Thử lại thoả mãn)

Vậy (x,y) = (2,1) và (x,y) = (−2,−1) là nghiệm của hệ.