a) Độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt 5 \). b) Tam giác OAB là tam giác nhọn. c) Chân đường phân giác trong góc \(\widehat {AOB}\) là \(D\left( {0;\frac{{12}}{7};\frac{{12}}{7}} \right)\).

a) \(AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)}^2}}  = 5\).

b) Ta có \(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;2;1} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( { - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  =  - \frac{{16}}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 0\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB} \).

Do đó tam giác OAB vuông tại O.

c) Có OA = 3; OB = 4; AB = 5.

Gọi D là chân đường phân giác trong góc \(\widehat {AOB}\) Þ D thuộc đoạn AB.

Theo tính chất của phân giác trong ta có:

\(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{3}{4}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {DA}  =  - \frac{3}{4}\overrightarrow {DB}  \Rightarrow D\left( {0;\frac{{12}}{7};\frac{{12}}{7}} \right)\).

d) Tam giác OAB có diện tích \(S = \frac{1}{2}OA.OB = 6\), nửa chu vi \(P = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = 6\)

\( \Rightarrow r = \frac{S}{p} = 1\) là bán kính đường tròn nội tiếp; chiều cao \(OH = \frac{{OA.OB}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}\).

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB Þ I thuộc đoạn OD.

Ta có \(\frac{{DI}}{{DO}} = \frac{r}{{OH}} = \frac{5}{{12}}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {DI}  = \frac{5}{{12}}\overrightarrow {DO} \) Þ I(0; 1; 1) hay a = 0; b = 1; c = 1.

Vậy S = a + b + c = 2.

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.