a) Cho \[x,\,y\] là các số nguyên dương thỏa mãn

3/5

a) Cho \[x,\,y\] là các số nguyên dương thỏa mãn \[{x^2} - y\] và \[{x^2} + y\] đều là các số chính phương. Chứng minh \[y\] là số chẵn.

b) Tìm các số nguyên dương \[a,\,b\] thỏa mãn \[{a^3} - 2{(a + b)^2} = {b^3} + 19\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) \[{x^2} - y = {a^2};\,{x^2} + y = {b^2}\] với \[a,\,b\] là các số tự nhiên \[ \Rightarrow 2y = {b^2} - {a^2}\]

Ta có \[{b^2} - {a^2}\] là số chẵn suy ra \[a,\,b\] là hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ\[ \Rightarrow (b - a)(b + a) \vdots 4\]\[ \Rightarrow y \vdots 2\].

b) \[{a^3} - 2{(a + b)^2} = {b^3} + 19 \Leftrightarrow (a - b - 2)({a^2} + ab + {b^2}) = 2ab + 19\]

Vì \(2ab + 19 > 0,{\rm{ }}{a^2} + ab + {b^2} > 0 \Rightarrow a - b - 2 \ge 1\)\( \Rightarrow a - b \ge 3\)

Từ\[a - b - 2 \ge 1 \Rightarrow {a^2} + ab + {b^2} \le 2ab + 19\]\( \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^2} < 19\)\( \Rightarrow a - b \le 4\)

Vì \(2ab + 19\) lẻ\( \Rightarrow a - b - 2\) lẻ \( \Rightarrow a - b\) lẻ \( \Rightarrow \)\(a - b = 3\)

Từ \(a - b = 3 \Rightarrow {b^2} + 3b - 10 = 0\)\( \Rightarrow b = - 5\) (loại) hoặc \(b = 2\). Vậy \(b = 2;a = 5\).