(a) Cho cấp số nhân 1/2 ; 1/4 ; 1/8 ; . . . ; 1/4 096 . Số 1/4 096 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?

a) Vì \(\frac{1}{2};\,\,\frac{1}{4};\,\,\frac{1}{8};...;\,\,\frac{1}{{4\,\,096}}\) là cấp số nhân nên \({u_1} = \frac{1}{2};\,\,\,q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{2}.\)

Công thức số hạng tổng quát: \({u_n} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).

Ta có: \({u_n} = \frac{1}{{4\,\,096}}\) \( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = \frac{1}{{4\,\,096}} \Leftrightarrow {2^n} = 4\,\,096 \Leftrightarrow {2^n} = {2^{12}}\)\( \Leftrightarrow n = 12\).

Vậy số \(\frac{1}{{4\,\,096}}\) là số hạng thứ 12 trong cấp số nhân đã cho.

b) Vì sau mỗi phút số lượng vi khuẩn của một loại vi khuẩn đã cho tăng gấp đôi nên số lượng vi khuẩn tăng sau mỗi phút là một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q = 2\).

Theo bài ra ta có: \({u_6} = 64\;000\)\( \Leftrightarrow {u_1}{q^5} = 64\;000\)\( \Leftrightarrow {u_1} \cdot {2^5} = 64\;000\)\( \Leftrightarrow {u_1} = 2\;000\).

Sau \(n\) phút thì số lượng vi khuẩn là \({u_{n + 1}}\).

Mà \({u_{n + 1}} = {u_1}{q^n} = 2\;048\;000\)\( \Leftrightarrow 2\;000 \cdot {2^n} = 2\;048\;000\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 1\;024 \Leftrightarrow n = 10\).

Vậy sau 10 phút thì có được 2 048 000 con vi khuẩn.