a) Cho a lớn hơn bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\ Q = {a^2} + 2/3a

a)Dự đoán Q đạt giá trị nhỏ nhất tại a=3.

Ta có \[Q = {a^2}\frac{{27}}{a} + \frac{{27}}{a} - \frac{{160}}{{3a}}\]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số \[{a^2};\frac{{27}}{a};\frac{{27}}{a}\] ta được:

\[{a^2} + \frac{{27}}{a} + \frac{{27}}{a} \ge 3.\sqrt {{a^2}.\frac{{27}}{a}.\frac{{27}}{a}} = 27\]

Mà \[a \ge 3 \Rightarrow 0 < \frac{{160}}{{3a}} \le \frac{{160}}{9} \Rightarrow - \frac{{160}}{{3a}} \ge \frac{{160}}{9}\].

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow a = 3.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= \[\frac{{83}}{9}\] tại a=3.

b)Ta đặt \[x = \frac{{3ab + 1}}{b},y = \frac{{3bc + 1}}{c},z = \frac{{3ca + 1}}{a} \Rightarrow x,y,z > 0\]

Đặt \[P = \frac{{a{{(3bc + 1)}^2}}}{{{c^2}(3ac + 1)}} + \frac{{b{{(3ca + 1)}^2}}}{{{a^2}(3ab + 1)}} + \frac{{c{{(3ab + 1)}^2}}}{{{b^2}(3bc + 1)}} \Rightarrow P = \frac{{{y^2}}}{z} + \frac{{{z^2}}}{x} + \frac{{{x^2}}}{y}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy-Schwarz ta có

\[P \ge \frac{{{{(y + z + x)}^2}}}{{x + y + z}} = x + y + z(1)\]

Ta có:

 \[\begin{array}{l}x + y + z = 3a + \frac{1}{b} + 3b + \frac{1}{c} + 3c + \frac{1}{a}\\ = \left( {9a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {9b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {9c + \frac{1}{c}} \right) - 6(a + b + c) \ge 2.\sqrt {9a + \frac{1}{a}} + 2.\sqrt {9b + \frac{1}{b}} + 2.\sqrt {9c + \frac{1}{c}} - 6(a + b + c)\\ = 6 + 6 + 6 - 6(a + b + c) \ge 18 - 6 = 12\left( 2 \right){\rm{ }}({\rm{ }}v\`i {\rm{ }}a + b + c \le 1).\end{array}\]

Từ (1) và (2) suy ra P\[ \ge \]12.

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \]a = b = c =\[\frac{1}{3}\]\[ \Rightarrow \]đpcm.