−−→ A A ′ = 3/ 2 −−→ C M .
13/38
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có \(AB = 1;AD = 2;AA' = 3\). Gọi M là một điểm trên đoạn \(CC'\)sao cho \(CM = 2MC'\).
a)\(\overrightarrow {AA'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).
b)\(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \frac{2}{3}\).
c) \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).
d) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D} = 0\).
a) Ta có \(\overrightarrow {AA'} \) cùng phương với \(\overrightarrow {CM} \) và \(AA' = \frac{3}{2}CM\). Suy ra \(\overrightarrow {AA'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).
b) Do \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'C'} \), suy ra \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {CAM}\).
Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \cos \widehat {CAM} = \frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }}{{\sqrt {A{C^2} + C{M^2}} }} = \frac{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {5 + 4} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).
d) Ta có \(\overrightarrow {B'D} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AD} - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} } \right) = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} \).
Do đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right).\left( { - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} } \right)\)\( = - A{B^2} + A{D^2} - \frac{2}{3}A{A'^2} = - 1 + 4 - 6 = - 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.