3) Với \[x\] là số nguyên, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A \cdot B.\)

Với \(x > 0,\,\,x \ne 4,\) ta có:

\(P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 + 4}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}.\)

Với \(x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \in \mathbb{Z}\) ta có: \(x \ge 1\) suy ra \(\sqrt x \ge 1\) nên \(\sqrt x + 2 \ge 3\)

Do đó \(\frac{4}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{4}{3}\) suy ra \(P \le \frac{7}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{7}{3}\) khi \(x = 1\).