(3,0 điểm) Cho tam giác A B C vuông tại A , tia phân giác của ˆ B cắt A C tại D . Kẻ H D ⊥ B C ( H ∈ B C ) . a) Chứng minh A B = B H và B D ⊥ A H . b) Chứng min

4/5

(3,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), tia phân giác của \(\widehat B\) cắt \(AC\) tại \(D\). Kẻ \(HD \bot BC{\rm{ }}\left( {H \in BC} \right)\).

a) Chứng minh \(AB = BH\) và \(BD \bot AH.\)

b) Chứng minh \(DC > AD.\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BA\) và đường thẳng \(HD,\)\(M\) là trung điểm của \(IC\). Chứng minh ba điểm \(B,M,C\) thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

a) Xét

\(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\), có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBH}\) (\(BD\) là phân giác của \(\widehat B\))

\(BD\) chung (gt)

\(\widehat {DAB} = \widehat {DHB} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (ch – gn)

Do đó, \(AB = BH\) (hai cạnh tương ứng).

Suy ra \(\Delta ABH\) cân tại \(B\) có \(BD\) là tia phân giác \(\widehat B\).

Suy ra \(BD\) cũng là đường trung trực của \(AH\). Do đó, \(BD \bot AH.\)

b) Do \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cmt) nên \[DA = DH\] (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác \[DAH\] vuông tại \[H\] nên có \[DA\] là cạnh huyền.

Do đó, \[DA > DH\].

Từ đó, suy ra \(DC > AD.\)

c) Chứng minh được \(\Delta ADI = \Delta HDC\) (cgv – gn)

Suy ra \(IA = CH\) (hai cạnh tương ứng)

Mà có \(AB = BH\), suy ra \(AB + AI = BH + HC\) hay \(BI = BC\).

Xét \(\Delta BIM\) và \(\Delta BCM\), có:

\(MI = MC\) (gt)

\(BM\) chung (gt)

\(BI = BC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta BIM = \Delta BCM\) (c.c.c)

Do đó, \(\widehat {IBM} = \widehat {CBM}\) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(BM\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Mà \(BD\) cũng là phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Suy ra \(B,D,M\) thẳng hàng.