(3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) sao cho AO > 2R. Kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. a) Chứng minh

a) Ta có: AB, AC là 2 tiếp tuyến

Þ AB ^ OB; AC ^ OC

Xét tứ giác ABOC có ABO^=ACO^=90°

Þ Hai điểm B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

Þ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A

Nên AB = AC và OB = OC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A và O cùng nằm trên đường trung trực của BC

Do đó AO là đường trung trực của BC.

Þ AO ⊥ BC.

Xét ∆ABO vuông tại B ( ABO^=90°), BH ^ AO (BC ^ AO, H Î BC)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

OB² = OH.OA

Þ OH.OA = R².

b) F là trung điểm ED 

Þ OF ^ ED (liên hệ giữa dây cung và đường kính)

Xét tứ giác ABFO có ABO^=AFO^=90°

Mà ABO^ và AFO^ là hai góc có đỉnh kề nhau của tứ giác ABFO

Þ Tứ giác ABFO nội tiếp

Þ AFB^=AOB^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà BED^=BCD^ (2 góc cùng chắn cung BD) và BCD^=HBO^(Tam giác OBC cân tại O).

=> ⇒BEF^+BFE^=BCD^+BFA^=HBO^+BOH^

MàHBO^+BOH^=90° (do ∆BHO vuông tại H).

Þ ⇒BEF^+BFE^=90°

EBF^=90°

Þ Tam giác BEF vuông tại B.

c) Xét ∆ABO và ∆ACO có :

AO chung,

OB = OC = R,

ABO^=ACO^=90°

Þ ∆ABO = ∆ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Þ BAO^=CAO^ (hai góc tương ứng)

Mà BD // AO Þ BD ^ BC

Þ CBD^=90°

Þ CD là đường kính của (O)

Xét ∆BDC và ∆CBK có:

CD = BK = 2R,

BCK^=CBD^=90°,

BC chung,

Þ ∆BDC = ∆CBK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Þ BD = CK

Ta có: ABD^=ABK^+KBD^=90°+KBD^ACK^=ACD^+DCK^=90°+DCK^

Mà KBD^=DCK^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DK)

⇒ABD^=ACK^

Xét ∆ABD và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh câu a),

ABD^=ACK^ (chứng minh trên),

BD = CK

Þ ∆ABD = ∆ACK (c.g.c)

Þ BAD^=CAK^ (hai góc tương ứng)

Tam giác ABC có AB = AC (chứng minh trên)

Nên DABC cân tại A

 ⇒BAO^=CAO^ (tính chất tam giác cân)

 ⇒BAO^−BAD^=CAO^−CAK^

=> DAO^=KAO^

Þ AO là phân giác góc DAK.

Vậy AO là phân giác góc DAK.