(3,0 điểm) Cho Δ A B C vuông tại A có A B < A C . Trên cạnh B C lấy điểm D sao cho B D = B A . Đường thẳng vuông góc với B C tại D cắt cạnh A C tại M , cắ

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác

\(\Delta ABM\) và \(\Delta DBM\), có:

\(AB = BD\) (gt)

\(BM\) chung (gt)

\(\widehat {BAM} = \widehat {MDB} = 90^\circ \) (gt)

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DBM\) (ch – cgv)

b) Do \(\Delta ABM = \Delta DBM\) (cmt) nên \(AM = MD\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta DMC\), ta có:

\(\widehat {MAN} = \widehat {MDC} = 90^\circ \) (gt)

\(AM = MD\) (cmt)

\(\widehat {AMN} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AMN = \Delta DMC\) (cgv – gn)

Do đó, \(MN = MC\) (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \(\Delta MNC\) cân tại \(M.\)

c) Do \(\Delta MNC\) cân tại \(M\) và \(I\) là trung điểm của \(NC\) nên \(MI\) cũng là đường cao của \(\Delta MNC\).

Suy ra \(MI \bot NC\).

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta DMC,\) có:

\(\widehat {AMN} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)

\(AM = MD\) (cmt)

\(MN = MC\) (cmt)

Suy ra \(\Delta AMN = \Delta DMC\) (c.g.c)

Do đó, \(AN = DC\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(AB + AN = BN;{\rm{ }}BD + DC = BC\).

Mà \(AN = DC,AB = BD\). Suy ra \(BN = BC\).

Do đó, \(\Delta BNC\) cân tại \(B\).

Suy ra \(BI \bot NC\) tại \(I\).

Mà \(MI \bot NC\) tại \(I\).

Do đó, \(B,M,I\) thẳng hàng.