(3,0 điểm) 3.1. Cho đa thức M ( x ) = − 5 x 4 + 3 x 5 + x ( x 2 + 5 x ) + 14 x 4 − 3 x 5 − x 3 + x 2 + 1 . a) Thu gọn và sắp xếp đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Xác địn

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có:

\(M\left( x \right) = - 5{x^4} + 3{x^5} + x\left( {{x^2} + 5x} \right) + 14{x^4} - 3{x^5} - {x^3} + {x^2} + 1\)

\(M\left( x \right) = - 5{x^4} + 3{x^5} + {x^3} + 5{x^2} + 14{x^4} - 3{x^5} - {x^3} + {x^2} + 1\)

\(M\left( x \right) = \left( {3{x^5} - 3{x^5}} \right) + \left( {14{x^4} - 5{x^4}} \right) + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {5{x^2} + {x^2}} \right) + 1\)

\(M\left( x \right) = 9{x^4} + 6{x^2} + 1\).

b) Ta có \(M\left( x \right) = 9{x^4} + 6{x^2} + 1\) có hệ số cao nhất là \(9\); hệ số tự do là \(1\) và bậc là \(4\).

c) Ta có: \(M\left( 2 \right) = {9.2^4} + {6.2^2} + 1 = 169\);

\(M\left( 1 \right) = {9.1^4} + {6.1^2} + 1 = 16\);

\(M\left( { - 1} \right) = 9.{\left( { - 1} \right)^4} + 6.{\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 16\).

d) Ta có: \(M\left( x \right) = 9{x^4} + 6{x^2} + 1\) hay \(M\left( x \right) = {\left( {3{x^2} + 1} \right)^2}\).

Nhận thấy \(3{x^2} + 1 > 0\) với mọi \(x\) nên \(M\left( x \right) = {\left( {3{x^2} + 1} \right)^2} > 0\) với mọi \(x\).

3.2. Ta có: \(P\left( x \right) = {x^7} - 80{x^6} + 80{x^5} - 80{x^4} + ... + 80x + 15\)

Nhận thấy \(80 = 79 + 1 = x + 1\).

Do đó, ta có: \(P\left( x \right) = {x^7} - \left( {x + 1} \right){x^6} + \left( {x + 1} \right){x^5} - \left( {x + 1} \right){x^4} + ... + \left( {x + 1} \right)x + 15\)

\(P\left( x \right) = {x^7} - {x^7} - {x^6} + {x^6} + {x^5} - {x^5} - {x^4} + ... + {x^2} + x + 15\)

\(P\left( x \right) = x + 15\)

\(P\left( x \right) = 79 + 15 = 94\).

Vậy \(P\left( x \right) = 94.\)