(3,0 điểm) 3.1. Cho đa thức C ( x ) = x 4 + x 3 − 4 x − x 4 + 3 x + 7 + 3 x 2 − x 2 . a) Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số tự d

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 4x - {x^4} + 3x + 7 + 3{x^2} - {x^2}\)

\(C\left( x \right) = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + {x^3} + \left( { - 4x + 3x} \right) + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + 7\)

\(C\left( x \right) = {x^3} - x + 2{x^2} + 7\) hay \(C\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x + 7\).

b) Đa thức \(C\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \(1\); hệ số tự do là \(7\) và bậc là \(3\).

c) Ta có: \(C\left( 2 \right) = {2^3} - 2 + {2.2^2} + 7 = 21\).

\(C\left( 1 \right) = {1^3} - 1 + {2.1^2} + 7 = 9\)

\(C\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - \left( { - 1} \right) + 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 7 = 9\).

d) Ta có: \(D\left( x \right) - x + 2{x^2} - 1 = C\left( x \right)\) nên \(D\left( x \right) = C\left( x \right) + x - 2{x^2} + 1\)

Do đó, \(D\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x + 7 + x - 2{x^2} + 1 = {x^3} + 8\).

3.2. Ta có: \(G = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} - 2025\)

Nhận thấy \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {z + 3} \right)^4} \ge 0\).

Do đó, \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} \ge 0\) nên \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} - 2025 \ge - 2015\).

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0;{\rm{ }}{\left( {y - 2} \right)^2} = 0;{\rm{ }}{\left( {z + 3} \right)^4} = 0\) hay \(x = \frac{1}{2};y = 2;z = 3\).

Vậy GTNN của \(G = - 2025\) khi \(x = \frac{1}{2};y = 2;z = 3\).