(3,0 điểm) 3.1. Cho đa thức A ( x ) = 3 x 2 − 4 x 4 − 5 x + 9 + 6 x 4 + 2 x 3 − 5 . a) Thu gọn và sắp xếp đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số t

Hướng dẫn giải

3.1.

a) Ta có: \(A\left( x \right) = 3{x^2} - 4{x^4} - 5x + 9 + 6{x^4} + 2{x^3} - 5\)

\(A\left( x \right) = \left( { - 4{x^4} + 6{x^4}} \right) + 2{x^3} + 3{x^2} - 5x + 9 - 5\)

\(A\left( x \right) = 2{x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} - 5x + 4\).

b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \(2\), hệ số tự do là \(5\) và bậc là \(4\).

c) Ta có: \(A\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^4} + 2.{\left( { - 1} \right)^3} + 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 5.\left( { - 1} \right) + 4 = 12\).

\(A\left( 0 \right) = {2.0^4} + {2.0^3} + {3.0^2} - 5.0 + 4 = 4\).

\(A\left( 2 \right) = {2.2^4} + {2.2^3} + {3.2^2} - 5.2 + 4 = 54\).

d) Ta có: \(B\left( x \right) - 3{x^2} + 2{x^4} - {x^3} = A\left( x \right)\)

Suy ra \(B\left( x \right) = A\left( x \right) + 3{x^2} - 2{x^4} + {x^3}\) hay \(B\left( x \right) = 2{x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} - 5x + 4 + 3{x^2} - 2{x^4} + {x^3}\)

Suy ra \(B\left( x \right) = \left( {2{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {2{x^3} + {x^3}} \right) + \left( {3{x^2} + 3{x^2}} \right) - 5x + 4\)

\(B\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} - 5x + 4\).

3.2. Ta có: \(13 = 12 + 1 = x + 1\).

Do đó, ta có: \(R\left( x \right) = {x^{10}} - \left( {x + 1} \right){x^9} + \left( {x + 1} \right){x^8} - \left( {x + 1} \right){x^7} + ... + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + 10\)

Suy ra \(R\left( x \right) = {x^{10}} - {x^{10}} - {x^9} + {x^9} + {x^8} - {x^8} - {x^7} + ... + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + 10\)

\(R\left( x \right) = - x + 10 = - 12 + 10 = - 2\).