1.Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x,\;y} \right)\) thoả mãn đẳng thức \[(y + 2){x^2} + 1 = {y^2}\]

1. \(\left( {y + 2} \right){x^2} + 1 = {y^2}\;\left( 1 \right)\)

\(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow {y^2} - 1 \vdots y + 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 4} \right) + 3 \vdots y + 2\)

\( \Leftrightarrow 3 \vdots y + 2\)

\( \Rightarrow y + 2 \in \left\{ { \pm 3;\; \pm 1} \right\}\)

\( \Rightarrow y \in \left\{ {1;\; - 5;\; - 1;\; - 3} \right\}\)

·       \(y = 1\) thay vào (1) \( \Rightarrow x = 0\) thoả mãn

·       \(y = - 5\) thay vào (1) \( \Rightarrow {x^2} = - 8\) loại

·       \(y = - 1\) thay vào (1) \( \Rightarrow x = 0\) thoả mãn

·       \(y = - 3\) thay vào (1) \( \Rightarrow {x^2} = - 8\;\)loại

Vậy (x; y) Î {(0; 1); (0; -1)}

2.  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3n + 1 = {a^2}}\\{11n + 1 = {b^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow n + 3 = 4{a^2} - {b^2} = \left( {2a - b} \right)\left( {2a + b} \right)\)

\(a,\;b \in {N^*} \Rightarrow 2a + b > 0 > 2a - b\)

\(n + 3\) là số nguyên tố \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b = 1}\\{2a + b = n + 3}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{n + 4}}{4}}\\{b = \frac{{n + 2}}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow 11n + 1 = {b^2} = {\left( {\frac{{n + 2}}{2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {n^2} = 40n\)

\( \Leftrightarrow n = 40\)