1) Một mảnh vườn dạng hình chữ nhật ABCD với AB = 8 m
12/12
1) Một mảnh vườn dạng hình chữ nhật \[ABCD\] với \[AB = 8\,\,{\rm{m}},\,\,BC = 10\,\,{\rm{m}}.\] Hai cột điện đặt tại vị trí A và \[E\] với \[E\] nằm trên tia đối của tia CB sao cho \[CE = 6\,\,{\rm{m}}.\] Bác An muốn đặt thêm một cột điện ở vị trí \[G\] trên cạnh CD của mảnh vườn sao cho ba cột \[A,\,\,E,\,\,G\] thẳng hàng. Vị trí đặt cột G cách C bao nhiêu mét?
2) Cho tam giác \(ABC\) nhọn có đường cao \(BE\) và \(CF.\)
a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(EF\) tại \(I,\) cắt \(BC\) tại \(K.\) Chứng minh \(IE \cdot KC = IF \cdot KB.\)
1) Xét\[\Delta ABE\]có\[G \in AE\,;\,\,C \in BE\]và\[CG\,{\rm{//}}\,AB\], theo hệ quả của định lí Thalès, ta có:
Suy ra \(\frac{{CG}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BE}}\) nên \(\frac{{CG}}{8} = \frac{6}{{6 + 10}} = \frac{3}{8}\), do đó \(CG = 3\,\,{\rm{m}}.\)
Vậy vị trí đặt cột G cách C 3 mét.
2) a) Vì \(BE\) là đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(BE \bot AC\) suy ra \(\widehat {AEB} = 90^\circ .\) Vì \(CF\) là đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(CF \bot AB\) suy ra \(\widehat {AFC} = 90^\circ .\) Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) có \(\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {BAC}\) chung. Do đó (g.g) b) Ta có suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}.\) |  |
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\,\,{\rm{(cmt)}}\,{\rm{;}}\,\,\widehat {BAC}\) chung.
Do đó (c.g.c).
c) Xét \(\Delta AEF\) có tia phân giác của \(\widehat {EAF}\) cắt \(BC\) tại \(K.\)
Suy ra \(\frac{{AB}}{{KB}} = \frac{{AC}}{{KC}}\) hay \(\frac{{KB}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Mà \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (cmt) nên \(\frac{{IE}}{{IF}} = \frac{{KB}}{{KC}}\) suy ra \(IE \cdot KC = IF \cdot KB.\)